Draghi est né à Rimini en Italie. Il a été l'un des compositeurs les plus prolifiques de son temps. Sa contribution au développement de l'opéra italien a été particulièrement significative. Il commença sa carrière musicale en tant que choriste à Padoue, mais en 1657, il est apparu sur scène, dans l'opéra La Fortuna de Rodope et di Damira, produit à Venise. Sa première oeuvre, l'opéra La Mascherata, est apparu en 1666.

 

En 1668, Draghi fut nommé à la cour de Léopold I er, empereur du Saint-Empire romain, à Vienne, et il y resta jusqu'à sa mort.